矩阵的分解与应用开题报告

问：求一份“浅谈正定矩阵与广义正定矩阵”论文开题报告

1. 答：1 相关定义
   定义1 设A∈，若对≠ x∈，都有AX > 0，则称A为正定矩阵，记为A∈．
   记={A|≠ x∈，使AX > 0}．
   定差游义2设A∈，如果对≠X∈，都有正对角矩阵D=> 0，使虚升销得AX > 0，则称A为广义正定矩阵，记为A∈，若D=
   与x无关，则记为A∈。
   记={A∈|≠笑握X]正对角矩阵D，使DAX > 0}．
   定义3 设A∈，若=A，对≠ x∈ ，都有AX > 0，则称A为实对称正定矩阵，记为A ∈ S+．
   记={A∈|≠x，=A，使AX > 0}．
   定义4 设A∈，如果对≠X,都有S=∈使得DAX > 0，则称A为广义正定矩阵，记为A∈，若S=与x无关，则记为A∈．
   记={A∈|≠X，S=,使DAX > 0}.
   定义5设A∈，如果对≠ X∈，都有S=.s+，使得AX > 0，则称A为广义正定矩阵，记为A∈．若S=与x无关，则记为A∈

问：矩阵的lu分解及应用

1. 答：可以说是最简单的矩阵分解方法，将矩阵A分解成L（下三角）矩阵和U（上三角）矩阵的乘积。其实就是高斯消元法的体现，U矩薯弊阵就是利用高斯消元法得到的，而消元过程用到的初等变换矩阵乘积就是L矩阵。需要注意的是，L矩阵宴悄可以是置换过的矩阵，即一个下三角矩阵和一个置换晌手渣矩阵的乘积（可以参考MATLAB中LU分解的函数lu）。

问：矩阵代数（五）- 矩阵因式分解

1. 答：矩阵 的因式分解是把 表示为两个或更多个矩阵的乘积。
   当 时，方程 可写成 。把 写成握中 ，可以由解下面一对方程来求解 ：
   可以证亩搜明
   应用 的 分解来解 ，其中 。
   解：解 。
   ～
   对 进行行化简的向后步骤。
   ～
   故 。
   分解的计算依赖于如何求 和 。
   设 可以化为阶梯形 ，化简过程中仅用行倍加变换，即把一行的倍数加于它下面的另一行。这样，存在单位下三角初等矩阵 使 。于是 ，段耐山其中 。可以证明 是单位下三角矩阵。
   注意将 化为阶梯形 过程中的行变换，它把 化为 。这写行变换也把 化为 ，这是因为
   分解的算法：
   求下列矩阵的 分解：
   解：因 有4行，故 应为 矩阵。 的第一列应该是 的第一列除以它的第一行主元素：
   比较 和 的第一列。把 的第一列的后三个元素变成零的行变换同时也将 的第一列的后三个元素变成0。
   ～ ～ ～
   上式中标出的元素确定来将 化为 的行化简。在每个主元列，把标出的元素除以主元后将结果放入 ： 。
   容易证明，所求出的 和 满足 。

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