关于柯西中值定理的论文
问：请问柯西中值定理,你学过吗？
- 答：1、柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。
2、柯西中值定理粗略地表明，对于两个端点之间的给定平面弧，至少有一个点，使曲线在该点的切线平行于两端点所在的弦。
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问：柯西中值定理的几何意义
- 答：几何意义：若令u=f(x),v=g(x)，而[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]则是连接参数曲线的端点斜率...，所以[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]=f′(a)/f′(b)。
柯西中值定理的几何意义
f(t)和g(t)为t∈[a,b]上的函数。
[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]=f′(a)/f′(b)的证明如下
参数方程x=g(t),y=f(t);
x1-x2=g(a)-g(b);
y1-y2=f(a)-f(b);
(y1-y2)/(x1-x2)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)];
dy/dx=[dy/dt]/[dx/dt]=f′(t)/f′(b);
(y1-y2)/(x1-x2)表示两点连线斜率；dy/dx表示之间某点斜率；
根据罗尔定律可知存在(y1-y2)/(x1-x2)=dy/dx
所以[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]=f′(a)/f′(b)
柯西 中值定理
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。
柯西中值定理粗略地表明，对于两个端点之间的给定平面弧，至少有一个点，使曲线在该点的切线平行于两端点所在的弦。
问：什么是柯西中值定理。
- 答：柯西中值定理，是著名的数学定理，证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式。利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。在柯西中值定理中，若取g(x)=x时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同。因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广。函数单调性，若函数在某区间上单调增（或减），则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正（或负），也就是函数的导数在此区间上均取正值（或负值）。因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性。
本文来源: https://www.lw74.cn/article/1a1d8103eca42965b62b2b5f.html