不等式证明中的代换法

一、不等式证明中的换元法（论文文献综述）

李木子^[1]（2021）在《高中证明不等式的基本方法教与学的现状与对策》文中指出证明不等式的基本方法是不等式学习的重要部分,不仅可以直接作用于不等式证明,还可以在解决其他问题时起到抛砖引玉的作用,掌握这些证明方法可以加深学生对不等式的理解、完善学生的知识体系以及提高学生的不等式应用意识。所以深入了解当今高中生证明不等式基本方法的学习现状,并且针对当下现状提出一些行之有效的学习策略和教学建议是十分有价值的。本文借助SOLO分类评价理论,协同文献研究法、测试卷法、调查问卷法以及访谈法,以《普通高中数学课程标准（实验）》（本文以下将普通高中数学课程标准（实验）称为《课标》）为依据展开高中证明不等式的基本方法教与学现状的研究。测试卷从比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、换元法以及构造函数法这七个维度出发,调查问卷从数学情感、学习习惯、知识能力以及教学方面这四个维度展开。本次选择的研究对象是黑龙江省哈尔滨市第六中学的300名高三学生。综合测试卷、调查问卷以及教师访谈的结果得到学生证明不等式的基本方法学习现状与归因如下:（1）“重习题证明轻方法研究”的观念较深;（2）整合知识能力不足;（3）不良学习习惯。并提出如下改进策略:（1）改变学生观念,突出方法重要性;（2）提高整合知识能力,建构科学知识框架;（3）培养良好的学习习惯。教师证明不等式的基本方法教学现状与归因如下:（1）忽视知识的形成过程;（2）缺少数学思想的渗透;（3）教师对学生了解不充分,课堂吸引力不足;（4）疏忽方法的区分与知识点的衔接。并提出如下教学建议:（1）重视知识的形成过程;（2）教学与数学思想方法紧密结合;（3）充分了解学生,吸引学生学习兴趣;（4）明确教学目标,善于归纳总结;（5）布置分层作业。

孙宇^[2]（2020）在《换元法在不等式中的重要应用》文中研究指明"换元法"是高中数学学习中的最重要的思想方法之一,其在不等式中的应用是最为典型的,也是最巧妙、最广泛的.但是对于大部分学生来说,由于这类题的题干特别简单,因此解题思路反而打不开,不容易动笔求解.

金雪^[3]（2020）在《高中数学竞赛中不等式问题解析及竞赛教学调查研究》文中研究指明1956年,在数学家华罗庚、苏步青、江泽涵等人的倡导下,我国在北京首次举行了中学生数学竞赛.自此,中学数学竞赛因其在选拔优秀数学人才方面所起到的重要作用,越来越受到人们的重视,参与数学竞赛的人数逐渐增多.至今,数学竞赛主要有国际数学竞赛、各国及地区举办的数学竞赛三类.数学竞赛所涉及的内容以中学数学教学内容为纲,是在课堂教学内容基础上的延伸与扩充,竞赛教学对参与学生的解题能力提升起着不可替代的作用.不等式问题是数学竞赛试题中的热点问题之一,不等式以其解法的灵活性和应用的广泛性受到竞赛命题者的青睐.所以,本文以不等式问题为研究的切入点,从不等式问题背景、理论基础及命题分析、解题方法及解析、竞赛教学实践调查五个方面开展研究,并结合上述研究内容给出教学建议以及教学案例设计.全文主要内容具体包括以下五部分.第一部分为本文的第一章,是本文的绪论部分,主要阐述数学竞赛的发展历程,对有关不等式问题的解题方法等内容的研究现状进行综述,并说明本文的研究目的和研究意义.第二部分为本文的第二章,以高中数学竞赛中不等式的相关概念、性质等内容为试题分析的基础,归纳不等式问题的命题原则和命题方法,采用统计分析法,统计近10年国际数学奥林匹克竞赛、中国数学奥林匹克竞赛和全国高中数学联赛试题中的不等式试题,分析其在数学竞赛试题中的发展趋势.第三部分为本文的第三章,结合竞赛例题,从解不等式和证明不等式问题出发,解析不等式问题的解题方法,为学生在解题实践中恰当地选择解题方法提供一定的参考.第四部分为本文的第四章,在前面两部分的基础上,以陕西师范大学罗增儒提出的“解题基本功”和美国数学家波利亚提出的“怎样解题表”为理论依据,以牡丹江市第一高级中学数学竞赛班的全体学生为研究对象,通过调查问卷和测试卷的方法,调查高中竞赛生解决不等式问题的基本情况,并使用SPSS软件对调查问卷及测试卷进行统计分析.第五部分根据调查研究中发现的问题,在一线教师的协助下,对不等式内容的竞赛教学和学习从知识结构、思维能力、经验题感三个方面提出相应的建议.结合教学建议,文中以一般形式的柯西不等式为例进行教学设计,希望对竞赛教学研究提供有益的补充,并能给竞赛教学教师一些实际的建议.

徐广华^[4]（2019）在《两类数列不等式证明的思维解密——从2019年高考浙江卷第20题所想到的》文中研究表明在高中数学数列不等式的证明中,有两类问题比较常见,分别与求和或求积有关,通常要运用放缩法,技巧性很高,这也是教学的难点所在,也是学生比较困惑、迷茫的地方.因为教学中,老师们大多讲不清"究竟是怎么想出来的",往往以"只可意会,不可言传"就蒙混过去了,掩盖了数学思维方法的本来面目!本文从分析法入手,探寻解决这类问题的一般思路,让学生"有法可依、有章可循",让一些貌似很玄妙的解法在课堂上自然地"生长"出来,有效突破破这个教学的难点.

张先波^[5]（2019）在《中学数学思想的培养研究 ——基于深度教学的视角》文中进行了进一步梳理从原始的结绳记事,到对于数与形的重视;从楔形文字、象形文字的表达,到初等数学符号的出现;从面向生活实践的零散数学规律,到系统性的数学学科体系。数学这门古老的学科,在迈过其漫长的发展历史之后,在学校教学的过程中继续生根发芽。作为学校教育中的一门基础性学科,数学不仅致力于传递古今中外的数学知识和定律,更重要的是在与学校生活中其他学科的交融过程中,使学生通过知识的学习,领会数学思想,感悟数学之美。曾有学者指出,数学是关于美的学科,数学是关于艺术的学科,数学是不断反思发展的学科。数学之美,体现在其数字的变幻之美,体现在数学公式的平衡之美,体现在数学发现的探索之美,同时也蕴含在学生学习数学过程中所体会到的获得之美。数学同时还是关于思想的学科,历代数学家根据自己对相关数学领域的研究,不断充实数学思想库,在传承与创新的过程中实现数学学科的不断发展。关于数学是一门艺术还是一门科学性学科的争论至今仍然存在,数学是一门艺术体现在数学通过艺术化的语言、简练的公式表达,使得数学思想得以发展,数学学科也称为学科发展史上的一朵奇葩。数学是一门科学,数学的语言及表达要求精确而凝练地指出相应的意图,要求数学学习者和研究者对于相应数学思想的深刻化理解,并在此基础上做到运用时的精准化。数学同时是一门生活化的学科,原始的数学便发端于人们对于生活问题的解决过程。如古埃及数学文明的发展,便是由于尼罗河三角洲的河道淤积以及洪水泛滥等问题,迫使数学家开始研究淤积的面积,并提供相应的预测。数学的发展往往受到社会经济发展的影响,数学发展的每一个重要阶段必然伴随着社会发展的需要,并且也在顺应社会的需求。这一点在近现代数学发展史中得到了印证,尤其是在现代社会中数学与信息技术的融合,以及基础数学研究的日益专门化和数学教育的大众化等趋势,均是数学与社会经济发展相适应的表现。无论是古典时期阿基米德的几何《原本》,还是现代数学家所取得的重要成就和关键突破,均为数学的发展画上了浓墨重彩的一笔。当前数学的发展,除了需要数学家和相关研究者持续不断的努力,同时需要学校教育培养出对数学感兴趣、能够领悟数学之美的人才。学校教育的产生,在人类历史上无疑是具有划时代意义的事件,它使得人类文明的传承有了相对规范化和制度化的途径。学校教育的产生以及与之相伴随的学科教育的发展,使得人类发展史上的重要成果能够分门别类的进行传递和发展。正如学者所言,我们的数学教育并非是使每个孩子的都成为数学家,而是要在他们心中埋下数学的种子,使他们感悟和理解数学之美。学科教学的过程,不应当只是知识的传递过程,更重要的是学科教学应该成为思想领悟的过程,成为数学知识向数学思想跨越的过程。数学知识的学习是数学思想领悟与获得的基础,是数学深度学习达成的必要前提。基于深度教学的视角探讨中学数学思想的培养过程意味着,从知识观、学习观和教学观等方面进行中学主要数学思想进行培养。从深度教学的视角而言,知识的结构分为符号表征、逻辑结构和意义系统三个层次。数学知识教学过程中,应当是超越知识的符号性教学和表层化教学,进而深入到知识的内部结构之中,使学生在领悟数学学科知识的结构的基础之上,获得数学思想的熏陶。从数学知识到数学思想,不仅是数学教学的飞跃式发展,同时也是教学走向深度的必然要求。当前对于学生关键能力和核心素养培养的重视,最终需要回归到各个学科教学的过程中来,通过学科教学逐步渗透相应的学科思想,培养学生优秀的学科思维,进而促使学科能力和学科素养的提升。尤其是对于中学数学教学而言,中学处于义务教育阶段是学生相应学科思想学习的黄金时期,这一阶段的数学思想学习尤其需要引起教师和学生的重视,课堂教学应当以学科思想,即重要的数学思想为线索,将数学知识串点成线成面。学生的数学学习过程,经由学科思想的浸润,通常能够加深对于数学学科的认识,加深对数学知识的理解以及促进其对于学科结构的把握。因而,数学思想的教学之于数学教学过程而言至关重要,从数学知识到数学思想的跨越是当前课堂教学应当关注的重点。同时,如何在中学教学过程中培养学生的数学思想以及数学思维品质,也是一线教师及研究者应关注的的问题之一。

吴月^[6]（2017）在《不等式的几种证明方法》文中研究表明不等式是数学中的一个重要的知识点,在初高中数学中不等式起着承上启下的作用,与方程和函数都有着重要的联系.被广泛地应用于生活与数学研究中.不等式的证明具有灵活性,其证明方法多样,技巧性强.在本文中,我们介绍了一些不等式常用的证明方法,通过学习这些证明方法,引导学生体会各种方法的优势与劣势,学会结合实际问题选择最优的解决问题的方法.从而可以很好在解决生活与学习中所遇到的相关问题,不等式的多种证明方法的学习可以调动学生思考的积极性,在解决问题时拓展学生的解题思维,激发学生的学习热情.

柏亦坚^[7]（2017）在《高中数学不等式几种解题思路分析》文中研究说明由于新课改的持续深入,在高中数学中,不等式在学生学习和高考中占有重要地位,与此同时,还是高中学生学习的重点和难点。而高中数学学习过程中需要对不等式的解题思路进行了解和分析,才能提升数学不等式解题效率。因此,本文对不等式的几种解题思路做了简单的阐述。

傅华英^[8]（2016）在《巧换元 妙解题》文中研究说明在初中数学教学过程中,学生除了要掌握常见的定理和公式外,还应当掌握一定的思想方法,丰富自己的抽象思维以及独立的思考能力。换元法作为初中数学中常见的一种解题思想,相关的知识原理应用十分广泛,并且在因式分解、方程解析、解不等式等相关问题中,也会大量用到换元法的思想来解决。本文提供了对这类问题的分析和解决方式,供读者参考。

凯歌^[9]（2016）在《浅谈《高等数学》的教学方法——以不等式的若干证明方法为例》文中指出高等数学是高等院校各种专业的学生必修的一门数学课程,不等式的证明是高等数学中非常重要的内容。在讲授不等式证明方法的过程中,有多种求解方法与技巧。在此笔者根据多年教学经验,归纳总结给出了若干证明不等式的基本方法,如比较法、分析法、综合法、反证法、换元法、放缩法、数学归纳法等,让学生更好地了解和掌握不等式的证明方法。

赵金荣^[10]（2015）在《换元法及其在高中数学解题中的应用》文中提出学生在做高中数学题时,应将题目中的某个式子看作是一个整体,再用一个未知的变量取代这个式子,进而简化该问题的解题过程,这种解题方法叫作换元法.在高中数学中,较为广泛使用的方法之一即为换元法,学生可以利用换元法将一些复杂的数学题简化,进而较为快捷简便地解出该题目.学生在面对一些较为复杂的题目,选择换元法时,应首先仔细观察并理解该题的意思,在脑海中构思解题思路,思考如何利用换元法解出该题,只有这样,才能充分发

二、不等式证明中的换元法（论文开题报告）

（1）论文研究背景及目的

此处内容要求：

首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。

写法范例：

本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。

（2）本文研究方法

调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。

观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。

实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。

文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。

实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。

定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。

定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。

跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。

功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。

模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。

三、不等式证明中的换元法（论文提纲范文）

（1）高中证明不等式的基本方法教与学的现状与对策（论文提纲范文）

（2）换元法在不等式中的重要应用（论文提纲范文）

（3）高中数学竞赛中不等式问题解析及竞赛教学调查研究（论文提纲范文）

（5）中学数学思想的培养研究 ——基于深度教学的视角（论文提纲范文）

（6）不等式的几种证明方法（论文提纲范文）

（7）高中数学不等式几种解题思路分析（论文提纲范文）

（8）巧换元 妙解题（论文提纲范文）

（9）浅谈《高等数学》的教学方法——以不等式的若干证明方法为例（论文提纲范文）

（10）换元法及其在高中数学解题中的应用（论文提纲范文）

四、不等式证明中的换元法（论文参考文献）

• [1]高中证明不等式的基本方法教与学的现状与对策[D]. 李木子. 哈尔滨师范大学, 2021(08)
• [2]换元法在不等式中的重要应用[J]. 孙宇. 数学学习与研究, 2020(20)
• [3]高中数学竞赛中不等式问题解析及竞赛教学调查研究[D]. 金雪. 牡丹江师范学院, 2020(02)
• [4]两类数列不等式证明的思维解密——从2019年高考浙江卷第20题所想到的[J]. 徐广华. 中学数学研究(华南师范大学版), 2019(21)
• [5]中学数学思想的培养研究 ——基于深度教学的视角[D]. 张先波. 华中师范大学, 2019(01)
• [6]不等式的几种证明方法[J]. 吴月. 数学学习与研究, 2017(21)
• [7]高中数学不等式几种解题思路分析[J]. 柏亦坚. 当代旅游(高尔夫旅行), 2017(08)
• [8]巧换元 妙解题[J]. 傅华英. 中学数学教学参考, 2016(15)
• [9]浅谈《高等数学》的教学方法——以不等式的若干证明方法为例[J]. 凯歌. 内蒙古教育(职教版), 2016(03)
• [10]换元法及其在高中数学解题中的应用[J]. 赵金荣. 数学学习与研究, 2015(13)

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